Question

15．已知数列{a_n}前n项和为S_n，对任意p、q∈N^*都有S_p+S_q=-p²-q²
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）令C_n=$\frac{1}{{{a}_{n}a}_{n+1}}$，求{a_n}前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）取p=q=n，可得S_n，然后结合$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}={S}_{1}}\\{{a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$求得{a_n}的通项公式；
（2）把{a_n}的通项公式代入C_n=$\frac{1}{{{a}_{n}a}_{n+1}}$，然后利用裂项相消法求{C_n}前n项和T_n．

解答 解：（1）∵p、q∈N^*，令p=q=n，
∴S_n=-n²，
当n=1时，S₁=a₁=-1；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=-n²-[-（n-1）²]=-2n+1，
验证n=1时成立，
∴a_n=-2n+1；
（2）∵a_n=-2n+1，∴a_n+1=-2n-1，
∴C_n=$\frac{1}{{{a}_{n}a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（-2n+1）（-2n-1）}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴T_n=C₁+C₂+C₃+…+C_n=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）=\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．