Question

11．已知函数$f（x）=sin（{ωx-\frac{π}{6}}）+\frac{1}{2}（{ω＞0}）$，且$f（α）=-\frac{1}{2}$，$f（β）=\frac{1}{2}$，若|α-β|的最小值为$\frac{3π}{4}$，则ω的值为（　　）

• A． 1
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 根据$f（α）=-\frac{1}{2}$，$f（β）=\frac{1}{2}$，|α-β|的最小值为$\frac{3π}{4}$，建立关系求解ω的值．

解答 解：函数$f（x）=sin（{ωx-\frac{π}{6}}）+\frac{1}{2}（{ω＞0}）$，
∵$f（α）=-\frac{1}{2}$，可得sin（$ωα-\frac{π}{6}$）=-1，
∴$ωα-\frac{π}{6}$=$-\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z．
∴α=$\frac{2kπ}{ω}-\frac{π}{3ω}$，k∈Z．
∵$f（β）=\frac{1}{2}$，可得sin（$ωβ-\frac{π}{6}$）=0，
∴$ωβ-\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z．
∴β=$\frac{kπ}{ω}+\frac{π}{6ω}$．
那么：|α-β|的最小值为|$\frac{2kπ}{ω}-\frac{π}{3ω}$-$\frac{kπ}{ω}-\frac{π}{6ω}$|=|$\frac{kπ}{ω}-\frac{π}{2ω}$|
当k=0时，可得最小值为$\frac{π}{2ω}$，即$\frac{3π}{4}$=$\frac{π}{2ω}$．
可得：ω=$\frac{2}{3}$．
故选：C．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质的运用和计算能力．属于基础题．