Question

1．设函数f（x）=$\frac{1-x}{1+x}$
（1）试证明f（x）在（-∞，1）上为单调递减函数；
（2）若函数g（x）=（$\frac{1}{2}$）^f（x），且g（x）在区间[-3，-2]上没有零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数单调性的定义证明即可；（2）求出g（x）的值域，得到关于m的不等式，求出m的范围即可．

解答 解（1）设x₂＜x₁＜-1，则x₁-x₂＞0，1+x₁＜0，1+x₂＜0，
$f（{x_2}）-f（{x_1}）=\frac{{2（{x_1}-{x_2}）}}{{（1+{x_1}）（1+{x_2}）}}＞0$，即f（x₂）＞f（x₁），
所以f（x）在（-∞，-1）上的单调递减函数；
（2）因f（x）是（-∞，-1）上的单调递减函数
所以g（x）=${（\frac{1}{2}）}^{f（x）}$-m在区间[-3，-2]上是单调递增函数，
所以，当x∈[-3，-2]时，g（x）=${（\frac{1}{2}）}^{f（x）}$-m的值域是：[g（-3），g（-2）]，
即[4-m，8-m]，
由g（x）在区间[-3，-2]上没有零点得：
 4-m＞0或8-m＜0，
所以m＜4或  m＞8．

点评 本题考查了函数的单调性、值域问题，考查函数的零点问题，是一道中档题．