Question

12．已知抛物线C：y²=4x的焦点是F，过点F的直线与抛物线C相交于P、Q两点，且点Q在第一象限，若2$\overrightarrow{PF}$=$\overrightarrow{FQ}$，则直线PQ的斜率是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{4}$
• B． 1
• C． $\sqrt{2}$
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 过点P，Q分别作抛物线的准线l：x=-1的垂线，垂足分别是P₁、Q₁，由抛物线的|Q₁Q|=|QF|定义可知，|P₁P|=|FP|，设|PF|=k（k＞0），则|FQ|=2k，在直角△PRQ中求解直线PQ的倾斜角即可求得直线PQ斜率．

解答 解：过点P，Q分别作抛物线的准线l：x=-1的垂线，垂足分别是P₁、Q₁，
由抛物线的定义可知，|Q₁Q|=|QF|，|P₁P|=|FP|，
设|PF|=k（k＞0），2$\overrightarrow{PF}$=$\overrightarrow{FQ}$，则|FQ|=2k，|PQ|=3k，又过点P作PR⊥Q₁Q于点R，
则在直角△PRQ中，|RQ|=k，|PQ|=3k，
丨PR丨=$\sqrt{丨PQ{丨}^{2}-丨QR{丨}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
由∠PQR与直线QP的倾斜角相等，
则直线PQ的斜率k=tan∠PQR=$\frac{丨PR丨}{丨QR丨}$=2$\sqrt{2}$，
∴直线PQ的斜率是2$\sqrt{2}$，
故选：D．

点评 本题考查抛物线的简单几何性质及抛物线定义的应用，考查数形结合思想以及计算能力，属于中档题．