Question

4．在锐角三角形△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，${a^2}+{c^2}-{b^2}=\sqrt{3}bc$，则cosA+sinC的取值范围为（　　）

• A． $（{\frac{3}{2}，\sqrt{3}}）$
• B． $（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{3}{2}}）$
• C． $（{\frac{3}{2}，\sqrt{3}}]$
• D． $（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\sqrt{3}}）$

Answer 1

分析 由已知利用余弦定理可求cosB，结合B是锐角，可求B，进而可得$C=\frac{5π}{6}-A$，利用三角函数恒等变换的应用化简可求cosA+sinC=$\sqrt{3}sin（{A+\frac{π}{3}}）$，由已知可求范围$\left\{\begin{array}{l}0＜A＜\frac{π}{2}\\ 0＜\frac{5π}{6}-A＜\frac{π}{2}\end{array}\right.$，利用正弦函数的图象和性质即可计算得解．

解答 （本题满分为12分）
解：由条件${a^2}+{c^2}-{b^2}=\sqrt{3}ac$，
根据余弦定理得：$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∵B是锐角，
∴$B=\frac{π}{6}$．
∴$A+C=\frac{5π}{6}$，即$C=\frac{5π}{6}-A$，
∴cosA+sinC=cosA+sin（$\frac{5π}{6}-A$）
=cosA+sin$\frac{5π}{6}$cosA-cos$\frac{5π}{6}$sinA
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sinA+\frac{3}{2}cosA$
=$\sqrt{3}sin（A+\frac{π}{3}）$，
又△ABC是锐角三角形，
∴$\left\{\begin{array}{l}0＜A＜\frac{π}{2}\\ 0＜C＜\frac{π}{2}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}0＜A＜\frac{π}{2}\\ 0＜\frac{5π}{6}-A＜\frac{π}{2}\end{array}\right.$，
∴$\frac{π}{3}＜A＜\frac{π}{2}$，
∴$\frac{2π}{3}＜A+\frac{π}{3}＜\frac{5π}{6}$，
∴$cosA+sinC∈（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{3}{2}}）$．
故选：B．

点评 本题主要考查了余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．