Question

14．已知函数f（x）=$\frac{lnx+1}{x}$，g（x）=x²-（a+1）x
（1）求函数f（x）的最大值；
（2）当a≥0时，讨论函数h（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$+a-axf（x）与函数g（x）的图象的交点个数．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可；
（2）问题等价于求函数F（x）=h（x）-g（x）的零点个数，通过讨论a的范围判断即可．

解答 解：（1）$f'（x）=\frac{-lnx}{x^2}$，由f'（x）=0⇒x=1，列表如下：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-
f（x）	单调递增	极大值1	单调递减

因此增区间（0，1），减区间（1，+∞），极大值f（1）=1，无极小值．故函数f（x）的最大值为1
（2）令$F（x）=h（x）-g（x）=\frac{1}{2}{x^2}+a-axf（x）-g（x）=-\frac{1}{2}{x^2}+（a+1）x-alnx，x＞0$，
问题等价于求函数F（x）的零点个数，
①当a=0时，F（x）=-$\frac{1}{2}$x²+x，x＞0，F（x）有唯一零点；
当a≠0时，F′（x）=-$\frac{（x-1）（x-a）}{x}$，
②当a=1时，F′（x）≤0，当且仅当x=1时取等号，
所以F（x）为减函数．注意到F（1）=$\frac{3}{2}$＞0，F（4）=-ln4＜0，
所以F（x）在（1，4）内有唯一零点；
③当a＞1时，当0＜x＜1，或x＞a时，F′（x）＜0，1＜x＜a时，F′（x）＞0，
所以F（x）在（0，1）和（a，+∞）上单调递减，在（1，a）上单调递增，
注意到F（1）=a+$\frac{1}{2}$＞0，F（2a+2）=-aln（2a+2）＜0，
所以F（x）在（1，2a+2）内有唯一零点；
④当0＜a＜1时，0＜x＜a，或x＞1时，F′（x）＜0，0＜x＜1时，F′（x）＞0，
所以F（x）在（0，a）和（1，+∞）上单调递减，在（a，1）上单调递增，
注意到F（1）=a+$\frac{1}{2}$＞0，F（a）=$\frac{a}{2}$（a+2-2lna）＞0，F（2a+2）=-aln（2a+2）＜0，
所以F（x）在（1，2a+2）内有唯一零点，
综上，F（x）有唯一零点，即函数f（x）与g（x）的图象有且仅有一个交点．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查函数的零点问题，是一道综合题．