Question

5．过双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左焦点F（-c，0）（c＞0）作圆x²+y²=$\frac{a^2}{4}$的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P．且满足$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{FE}+\overrightarrow{OE}$，则双曲线的渐近线方程为（　　）

• A． $\sqrt{10}$x±2y=0
• B． 2x±$\sqrt{10}$y=0
• C． $\sqrt{6}$x±2y=0
• D． 2x±$\sqrt{6}$y=0

Answer 1

分析 通过双曲线的特点知原点O为两焦点的中点，利用中位线的性质，求出PF′的长度及判断出PF′垂直于PF，通过勾股定理得到a，c的关系，再求出a，b的关系，进而求出双曲线的渐近线方程．

解答 解：$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{FE}+\overrightarrow{OE}$=$\overrightarrow{OE}$-$\overrightarrow{OF}$+$\overrightarrow{OE}$，
可得2$\overrightarrow{OE}$=$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{OF}$，
即E为PF的中点，
如图，记右焦点为F′，则O为FF′的中点，
∵E为PF的中点，
∴OE为△FF′P的中位线，
∴PF′=2OE=a，
∵E为切点，
∴OE⊥PF，
∴PF′⊥PF，
∵点P在双曲线上，
∴PF-PF′=2a，
∴PF=PF′+2a=3a，
在Rt△PFF′中，有：PF²+PF′²=FF′²，
∴9a²+a²=4c²，即10a²=4c²，
即有b²=c²-a²=$\frac{5}{2}$a²-a²=$\frac{3}{2}$a²，
则渐近线方程为y=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$x，
故选：C．

点评 本题主要考查双曲线的简单性质、圆的方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，在圆锥曲线中，求渐近线方程关键就是求三参数a，b的关系，注意解题方法的积累，属于中档题．