Question

20．如图1，已知在菱形ABCD中，∠B=120°，E为AB的中点，现将四边形EBCD沿DE折起至EBHD，如图2．

（1）求证：DE⊥面ABE；
（2）若二面角A-DE-H的大小为$\frac{2π}{3}$，求平面ABH与平面ADE所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由已知可得△ABD为正三角形，再由E为AB的中点，得DE⊥AE，DE⊥BE，利用线面垂直的判定可得DE⊥面ABE；
（2）以点E为坐标原点，分别以线段ED，EA所在直线为x，y轴，再以过点E且垂直于平面ADE且向上的直线为z轴，建立空间直角坐标系．由二面角A-DE-H的平面角为$\frac{2π}{3}$，再设AE=1，可得E，A，B，D的坐标，然后分别求出平面ABH与平面ADE的一个法向量，利用两法向量所成角的余弦值求得平面ABH与平面ADE所成锐二面角的余弦值．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD为菱形，且∠B=120°，
∴△ABD为正三角形，
∵E为AB的中点，
∴DE⊥AE，DE⊥BE，
∴DE⊥面ABE；
（2）解：以点E为坐标原点，分别以线段ED，EA所在直线为x，y轴，再以过点E且垂直于平面ADE且向上的直线为z轴，建立空间直角坐标系如图所示．
∵DE⊥面ABE，∴∠AEB为二面角A-DE-H的一个平面角，则$∠AEB=\frac{2π}{3}$，
设AE=1，则E（0，0，0），A（0，1，0），B（0，$-\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），D（$\sqrt{3}$，0，0），
由$\overrightarrow{DH}=2\overrightarrow{EB}$，得H（$\sqrt{3}，-1，\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{AB}=（0，-\frac{3}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$，$\overrightarrow{AH}=（\sqrt{3}，-2，\sqrt{3}）$，
设平面ABH的法向量为$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=-\frac{3}{2}y+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AH}=\sqrt{3}x-2y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，
令y=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}=（-1，\sqrt{3}，3）$．
而平面ADE的一个法向量为$\overrightarrow{m}=（0，0，1）$，
设平面ABH与平面ADE所成锐二面角的大小为θ，
则cosθ=|$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{m}|}$|=|$\frac{3\sqrt{13}}{13}$|=$\frac{3\sqrt{13}}{13}$．
∴平面ABH与平面ADE所成锐二面角的余弦值为$\frac{3\sqrt{13}}{13}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定，考查了空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．