Question

8．己知A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），则平面ABC的一个单位法向量是$（\frac{\sqrt{3}}{3}，\frac{\sqrt{3}}{3}，\frac{\sqrt{3}}{3}）$．

Answer 1

分析 设平面ABC的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），可得$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=0}\end{array}\right.$，即可得出平面ABC的一个单位法向量=$\frac{\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{n}|}$．

解答 解：$\overrightarrow{AB}$=（-1，1，0），$\overrightarrow{AC}$=（-1，0，1），
设平面ABC的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-x+y=0}\\{-x+z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（1，1，1）．
则平面ABC的一个单位法向量=$\frac{\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{n}|}$=$（\frac{\sqrt{3}}{3}，\frac{\sqrt{3}}{3}，\frac{\sqrt{3}}{3}）$．
故答案为：$（\frac{\sqrt{3}}{3}，\frac{\sqrt{3}}{3}，\frac{\sqrt{3}}{3}）$．

点评 本题考查了平面法向量的应用、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．