Question

18．已知等差数列{a_n}的公差d＞0，且a₂，a₅-1，a₁₀成等比数列，若a₁=5，S_n为数列{a_n}的前n项和，则$\frac{{2{S_n}+n+32}}{{{a_n}+1}}$的最小值为（　　）

• A． $3\sqrt{3}$
• B． $2\sqrt{7}$
• C． $\frac{20}{3}$
• D． $\frac{17}{3}$

Answer 1

分析 利用等比数列以及等差数列的关系，求出公差，然后利用通项公式以及前n项和，化简所求表达式，求解最小值即可．

解答 解：由于a₂，a₅-1，a₁₀成等比数列，所以（a₅-1）²=a₂a₁₀，
（a₁+4d-1）²=（a₁+d）（a₁+9d），a₁=5，解得d=3，a_n=3n+2，S_n=$\frac{3}{2}{n}^{2}+\frac{7}{2}n$，
所以$\frac{{2{S_n}+n+32}}{{{a_n}+1}}$=$\frac{3{n}^{2}+8n+32}{3n+3}$=$\frac{1}{3}$[3（n+1）+$\frac{27}{n+1}+2$]$≥\frac{20}{3}$．
故选：C．

点评 本题考查等差数列以及等比数列的应用，考查数列的通项公式以及前n项和，考查计算能力．