Question

13．若（x³+$\frac{1}{\sqrt{x}}$）ⁿ的展开式中含有常数项，且n的最小值为a，则${∫}_{-a}^{a}$$\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}$dx=（　　）

• A． 0
• B． $\frac{686}{3}$
• C． $\frac{49π}{2}$
• D． 49π

Answer 1

分析 首先利用二项式定理求出a，然后利用几何意义求定积分．

解答 解：因为（x³+$\frac{1}{\sqrt{x}}$）ⁿ的展开式中含有常数项，且n的最小值为a，由${C}_{n}^{r}{x}^{3（n-r）}\frac{1}{\sqrt{{x}^{r}}}={C}_{n}^{r}{x}^{3n-\frac{7}{2}r}$得到6n=7r，所以n的最小值为7，所以${∫}_{-a}^{a}$$\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}$dx=${∫}_{-7}^{7}\sqrt{{7}^{2}-{x}^{2}}dx$=$\frac{1}{2}×π×{7}^{2}=\frac{49π}{2}$；
故选C．

点评 本题考查了二项式定理以及利用几何意义求定积分；属于中档题．