Question

18．已知函数f（x）的定义域为R，其图象关于点（1，0）中心对称，其导函数为f′（x），当x＜1时，（x-1）[f（x）+（x-1）f′（x）]＞0，则不等式xf（x+1）＞f（2）的解集为（-∞，-1）∪（1，+∞）．

Answer 1

分析 由题意设g（x）=（x-1）f（x），求出g′（x）后由条件判断出符号，由导数与函数单调性的关系判断出g（x）在（-∞，1）上递减，由条件和图象平移判断出：函数f（x+1）的图象关于点（0，0）中心对称，由奇函数的图象可得：函数f（x+1）是奇函数，令h（x）=g（x+1）=xf（x+1），判断出h（x）的奇偶性和单调性，再等价转化不等式，求出不等式的解集．

解答 解：由题意设g（x）=（x-1）f（x），
则g′（x）=f（x）+（x-1）f′（x），
∵当x＜1时，（x-1）[f（x）+（x-1）f′（x）]＞0，
∴当x＜1时，f（x）+（x+1）f′（x）＜0，
则g（x）在（-∞，1）上递增，
∵函数f（x）的定义域为R，其图象关于点（1，0）中心对称，
∴函数f（x+1）的图象关于点（0，0）中心对称，
则函数f（x+1）是奇函数，
令h（x）=g（x+1）=xf（x+1），
∴h（x）是R上的偶函数，且在（-∞，0）递减，
由偶函数的性质得：函数h（x）在（0，+∞）上递增，
∵h（1）=f（2），∴不等式xf（x+1）＞f（2）化为：h（x）＞h（1），
即|x|＞1，解得：x＞1或x＜-1，
∴不等式的解集是（-∞，-1）∪（1，+∞），
故答案为：（-∞，-1）∪（1，+∞）．

点评 本题考查导数与单调性的关系，偶函数的定义以及性质，函数图象的平移变换，以及函数单调性的应用，考查转化思想，构造法，化简、变形能力．