Question

6．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1 （a＞b＞0 ） 经过点 P（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$ ），离心率 e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程．
（Ⅱ）设过点E（0，-2 ） 的直线l 与C相交于P，Q两点，求△OPQ 面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，以及a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）当直线l的斜率不存在，不合题意，可设直线l：y=kx-2，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），联立椭圆方程，消去y，得到x的方程，运用判别式大于0和韦达定理，以及弦长公式，点到直线的距离公式，由三角形的面积公式，运用换元法和基本不等式即可得到所求最大值．

解答 解：（Ⅰ）由点$P（1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$在椭圆上得，$\frac{1}{a^2}+\frac{3}{{4{b^2}}}=1$①
又e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$②，c²=a²-b²③
由①②③得c²=3，a²=4，b²=1，
故椭圆C的标准方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．
（Ⅱ）当直线l的斜率不存在，不合题意，可设直线l：y=kx-2，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
将y=kx-2代入椭圆方程x²+4y²=4，可得（1+4k²）x²-16kx+12=0，
由△=16²k²-48（1+4k²）＞0，解得k＞$\frac{\sqrt{3}}{2}$或k＜-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
x₁+x₂=$\frac{16k}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{12}{1+4{k}^{2}}$，
|PQ|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•|x₁-x₂|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（\frac{16k}{1+4{k}^{2}}）^{2}-\frac{48}{1+4{k}^{2}}}$=4$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{\sqrt{4{k}^{2}-3}}{1+4{k}^{2}}$，
又O到直线PQ的距离d=$\frac{2}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
则S_△OPQ=$\frac{1}{2}$d•|PQ|=4•$\frac{\sqrt{4{k}^{2}-3}}{1+4{k}^{2}}$，
设t=$\sqrt{4{k}^{2}-3}$，（t＞0），则4k²=3+t²，
即有S_△OPQ=$\frac{4t}{4+{t}^{2}}$=$\frac{4}{t+\frac{4}{t}}$
由t+$\frac{4}{t}$≥2$\sqrt{t•\frac{4}{t}}$=4，
当且仅当t=2，即k=±$\frac{\sqrt{7}}{2}$时等号成立，满足判别式大于0．
则S_△OPQ≤1．
故△OPQ 面积的最大值为1．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和点满足椭圆方程，考查三角形的面积的最大值，注意运用联立方程组，运用韦达定理和弦长公式，以及点到直线的距离公式，考查基本不等式的运用：求最值，化简整理的运算能力，属于中档题．