Question

14．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0 ） 经过点 P（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），离心率 e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设过点E （0，-2 ） 的直线l与C相交于P，Q 两点，求△OPQ面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由点$P（1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$在椭圆上，离心率 e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．求出a，b，由此能求出椭圆C的标准方程．
（Ⅱ）设l：y=kx-2，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），将y=kx-2代入$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，得（1+4k²）x²-16kx+12=0．由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式、基本不等式，结合已知条件能求出△OPQ的面积的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由点$P（1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$在椭圆上得，$\frac{1}{a^2}+\frac{3}{{4{b^2}}}=1$①
$又e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}，所以\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$②
由①②得c²=3，a²=4，b²=1，
故椭圆C的标准方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$…．（5分）
（Ⅱ）当l⊥x轴时，不合题意，
故设l：y=kx-2，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
将y=kx-2代入$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，得：
（1+4k²）x²-16kx+12=0．
当△=16（4k²-3）＞0，即${k}^{2}＞\frac{3}{4}$时，${x}_{1，2}=\frac{8k±2\sqrt{4{k}^{2}-2}}{4{k}^{2}+1}$，
∴|PQ|=$\sqrt{{k}^{2}+1}$|x₁-x₂|=$\frac{4\sqrt{{k}^{2}+1}•\sqrt{4{k}^{2}-3}}{4{k}^{2}+1}$，
又点O到直线PQ的距离d=$\frac{2}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∴△OPQ的面积S_△OPQ=$\frac{1}{2}d•|PQ|$=$\frac{4\sqrt{4{k}^{2}-3}}{4{k}^{2}+1}$．…（9分）
设$\sqrt{4{k}^{2}-3}=t$，则t＞0，
S_△OPQ=$\frac{4t}{{t}^{2}+4}=\frac{4}{t+\frac{4}{t}}$，
∵t+$\frac{4}{t}$≥4，
当且仅当t=2时，即k=$±\frac{\sqrt{7}}{2}$时等号成立，且满足△＞0，
∴△OPQ的面积的最大值为1．…（9分）

点评 本题考查椭圆性质、根的判别式、韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式、基本不等式等基础知识，考查考查推理论证能力、数据处理能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，属于中档题．