Question

10．曲线$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1与曲线$\frac{x^2}{25t}+\frac{y^2}{9t}=1（{t＞0}）$的（　　）

• A． 长轴长相等
• B． 短轴长相等
• C． 离心率相等
• D． 焦距相等

Answer 1

分析 根据题意，由椭圆的方程计算可得两个椭圆的长轴长、短轴长，焦距、离心率，比较即可得答案．

解答 解：曲线$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1与曲线$\frac{x^2}{25t}+\frac{y^2}{9t}=1（{t＞0}）$都表示椭圆，
对于$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，其中a=$\sqrt{25}$=5，b=$\sqrt{9}$=3，则有c=$\sqrt{25-9}$=4，
则其长轴长2a=10，短轴长2b=6，焦距2c=8，离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{4}{5}$；
对于$\frac{x^2}{25t}+\frac{y^2}{9t}=1（{t＞0}）$，其中a=$\sqrt{25t}$=5$\sqrt{t}$，b=$\sqrt{9t}$=3$\sqrt{t}$，则有c=$\sqrt{25t-9t}$=4$\sqrt{t}$，
则其长轴长2a=10$\sqrt{t}$，短轴长2b=6$\sqrt{t}$，焦距2c=8$\sqrt{t}$，离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{4}{5}$；
比较可得，两者的离心率相等；
故选：C．

点评 本题考查椭圆的标准方程，关键是有椭圆的标准方程计算出长轴长、短轴长，焦距、离心率．