Question

2．已知：抛物线m：y²=2px焦点为F，以F为圆心的圆F过原点O，过F引斜率为k的直线与抛物线m和圆F从上至下顺次交于A、B、C、D．若$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CD}$=4．
（1）求抛物线方程．
（2）当为k何值时，△AOB、△BOC、△COD的面积成等差数列；
（3）设M为抛物线上任一点，过M点作抛物线的准线的垂线，垂足为H．在圆F上是否存在点N，使|MH|-|MN|的最大值，若存在，求出|MH|-|MN|的最大值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由抛物线方程求得焦点，即可求得圆心与半径，设的直线AD的方程，根据抛物线的定义，及直线与抛物线的位置关系，利用向量数量积的坐标运算，即可求得p的值，求得抛物线方程；
（2）根据三角形的面积公式及等差数列的性质，即可求得x_A+x_D，利用抛物线弦长公式即可求得弦长丨AD丨，根据抛物线焦点弦与直线斜率的关系，即可求得直线AD斜率，
方法二：由抛物线焦点弦与直线倾斜角的关系，即可求得直线AD的倾斜角，即可求得直线AD的斜率k；
（3）由定义|MH|-|MN|=|MF|-|MN|≤|NF|=4，存在点N，使|MH|-|MN|的取得最大值为4．

解答 解：（1）由题意抛物线m：y²=2px焦点为$F（{\frac{p}{2}，0}）$，$r=\frac{p}{2}$；
直线AD为$y=k（{x-\frac{p}{2}}）$$|{AB}|=|{AF}|-|{BF}|=（{{x_A}+\frac{p}{2}}）-r={x_A}$，
$|{CD}|=|{DF}|-|{CF}|=（{{x_D}+\frac{p}{2}}）-r={x_D}$
联立$\left\{{\begin{array}{l}{{y^2}=2px}\\{y=k（{x-\frac{p}{2}}）}\end{array}}\right.$，得${k^2}{x^2}-（{{k^2}+2}）px+\frac{{{p^2}{k^2}}}{4}=0$
由违达定理得$\left\{{\begin{array}{l}{{x_A}+{x_D}=（{\frac{2}{k^2}+1}）p}\\{{x_A}•{x_D}=\frac{p^2}{4}}\end{array}}\right.$，
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CD}={x_A}{x_D}=\frac{p^2}{4}=4⇒p=4$
∴抛物线方程y²=8x…（5分）
（2）∵由△AOB、△BOC、△COD的面积成等差数列，
即2S_△BOC=2S_△AOB+2S_△COD，由三角形的面积公式可知：2丨BC丨=丨AB丨+丨CD丨，
∴$|{BC}|=\frac{{|{AB}|+|{CD}|}}{2}=4⇒{x_A}+{x_D}=8$，则弦长|AD|=x_A+x_D+p=8+4=12，
方法一：$（{\frac{2}{k^2}+1}）p=8$，
∴${k^2}=2⇒k=±\sqrt{2}$…（9分）
方法二：丨AD丨=$\frac{p}{1-cosθ}$+$\frac{p}{1+cosθ}$=$\frac{2p}{si{n}^{2}θ}$=12，
则sin²θ=$\frac{2}{3}$，则cos²θ=$\frac{1}{3}$，
tan²θ=2，则tanθ=$\sqrt{2}$，
∴k=±$\sqrt{2}$，
（3）由定义|MH|-|MN|=|MF|-|MN|≤|NF|=4，
∴存在点N，使|MH|-|MN|的取得最大值为4．…（12分）

点评 本题考查抛物线的简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，抛物线的焦点弦公式，焦点弦与直线斜率与倾斜角的关系，考查计算能力，属于中档题．