Question

15．已知f（x）是定义域为（0，+∞）的单调函数，若对任意的x∈（0，+∞），都有$f[{f（x）+{{log}_{\frac{1}{3}}}x}]=4$，且方程|f（x）-3|=x³-6x²+9x-4+a在区间[0，3]上有两解，则实数a的取值范围是（　　）

• A． 0＜a≤5
• B． a＜5
• C． 0＜a＜5
• D． a≥5

Answer 1

分析 由题意可得必存在唯一的正实数a，满足f（x）+${log}_{\frac{1}{3}}x$=a，f（a）=4 ①，可得f（a）+${log}_{\frac{1}{3}}a$=a ②，由①②得a=${（\frac{1}{3}）}^{a-4}$，解得a=3．由题意，|${log}_{\frac{1}{3}}x$|=x³-6x²+9x-4+a在区间（0，3]上有两解，数形结合可得a的范围．

解答 解：∵f（x）是定义域为（0，+∞）的单调函数，对任意的x∈（0，+∞），都有$f[{f（x）+{{log}_{\frac{1}{3}}}x}]=4$，
∴必存在唯一的正实数a，满足f（x）+${log}_{\frac{1}{3}}x$=a，f（a）=4  ①，∴f（a）+${log}_{\frac{1}{3}}a$=a ②，
由①②得：4+${log}_{\frac{1}{3}}a$=a，即 ${log}_{\frac{1}{3}}a$=a-4，∴a=${（\frac{1}{3}）}^{a-4}$，解得a=3．
故f（x）+${log}_{\frac{1}{3}}x$=a=3，∴f（x）=3-${log}_{\frac{1}{3}}x$，
由方程|f（x）-3|=x³-6x²+9x-4+a在区间（0，3]上有两解，
即有|${log}_{\frac{1}{3}}x$|=x³-6x²+9x-4+a在区间（0，3]上有两解，
由g（x）=x³-6x²+9x-4+a，可得g′（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3），
当1＜x＜3时，g′（x）＜0，g（x）递减；当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）递增．
g（x）在x=1处取得最大值a，g（0）=a-4，g（3）=a-4，
分别作出y=|${log}_{\frac{1}{3}}x$|，和y=x³-6x²+9x-4的图象，
可得两图象只有一个交点（1，0），将y=x³-6x²+9x-4的图象向上平移，
至经过点（3，1），有两个交点，由g（3）=1，即a-4=1，解得a=5，
当0＜a≤5时，两图象有两个交点，即方程|f（x）-3|=x³-6x²+9x-4+a在区间（0，3]上有两解．
故选：A．

点评 本题考查对数的运算性质的综合运用，综合性强，难度大．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，属于难题．