Question

若函数y=f（x）的图象与y=ln（x-1）+1（x＞1）的图象关于直线y=x对称，且f（1）=a+b，则2^a+2^b的最小值是（　　）

• A．1
• B．

  2

• C．2
• D．4

Answer 1

分析：由题意可得f（x）是y=ln（x-1）+1（x＞1）的反函数，求出f（x）的解析式，可得a+b=2，再利用基本不等式求出2^a+2^b的最小值．

解答：解：函数y=f（x）的图象与y=ln（x-1）+1（x＞1）的图象关于直线y=x对称，故f（x）是y=ln（x-1）+1（x＞1）的反函数．
由y=ln（x-1）+1（x＞1）可得 x=e^y-1+1，故y=ln（x-1）+1（x＞1）的反函数为 y=e^x-1+1，故 f（x）=e^x-1+1．
由f（1）=a+b=2，可得 2^a+2^b ≥2

2a  • 2b

=2

2a+b

=4，当且仅当 a=b=1时，等号成立，
故选D．

点评：本题主要考查基本不等式的应用，求一个函数的反函数，属于基础题．