Question

11．已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{3}t}\end{array}\right.$ （t为参数），若以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ=2cos（θ-$\frac{π}{4}$）．
（1）求直线l的倾斜角和曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，设点P（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），求|PA|+|PB|．

Answer 1

分析 （1）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{3}t}\end{array}\right.$ （t为参数），消去参数t化为普通方程可得，进而得到倾斜角．由曲线C的极坐标方程得到：ρ²=2ρcos（θ-$\frac{π}{4}$），利用ρ²=x²+y²，即可化为直角坐标方程．
（2）将|PA|+|PB|转化为求|AB|来解答．

解答 解　（1）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{3}t}\end{array}\right.$ （t为参数），消去参数t化为普通方程可得：y=$\sqrt{3}$x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
则该直线的斜率为：$\sqrt{3}$．
设倾斜角为α，则tanα=$\sqrt{3}$，α∈[0，π）．所以α=$\frac{π}{3}$，即：直线l倾斜角为$\frac{π}{3}$；
曲线C的极坐标方程为ρ=2cos（θ-$\frac{π}{4}$），
所以ρ²=2ρcos（θ-$\frac{π}{4}$），
所以曲线C的直角坐标方程为（x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²+（y-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²=1．
（2）容易判断点P（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）在直线l上且在圆C内部，所以|PA|+|PB|=|AB|，直线l的直角坐标方程为y=$\sqrt{3}$x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
所以圆心（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）到直线l的距离d=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
所以|AB|=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，即|PA|+|PB|=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

点评 本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、参数方程化为普通方程、三角函数求值、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．