Question

4．在二项式${（{\sqrt{x}+\frac{1}{{2•\root{6}{x}}}}）^n}$的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为（　　）

• A． $\frac{1}{6}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{5}{12}$

Answer 1

分析 利用二项式定理的通项公式、等差数列的性质可得n，再利用通项公式可得有理项与无理项的项数．利用“插空法”及其排列公式即可得出概率．

解答 解：在二项式${（{\sqrt{x}+\frac{1}{{2•\root{6}{x}}}}）^n}$的展开式中，前三项分别为：$（\sqrt{x}）^{n}$，${∁}_{n}^{1}（\sqrt{x}）^{n-1}（\frac{1}{2\root{6}{x}}）$即$\frac{1}{2}n{x}^{\frac{3n-4}{6}}$，${∁}_{n}^{2}（\sqrt{x}）^{n-2}（\frac{1}{2\root{6}{x}}）^{2}$即$\frac{n（n-1）}{8}{x}^{\frac{3n-8}{6}}$．
∵前三项的系数成等差数列，
∴$2×\frac{1}{2}n$=1+$\frac{n（n-1）}{8}$，
化为：n²-9n+8=0，
解得n=8．
由通项公式可得：T_r+1=${∁}_{8}^{r}$$（\sqrt{x}）^{8-r}$$（\frac{1}{2\root{6}{x}}）^{r}$=$（\frac{1}{2}）^{r}$${∁}_{8}^{r}$${x}^{4-\frac{2r}{3}}$．
可知当r=0，3，6时，为有理项，其余6项为无理项．
∴有理项都互不相邻的概率p=$\frac{{A}_{7}^{3}{A}_{6}^{6}}{{A}_{9}^{9}}$=$\frac{5}{12}$．
故选：D．

点评 本题考查了二项式定理的应用、等差数列的性质、“插空法”、排列公式、概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．