Question

9．已知函数$f（x）=Acos（wx+φ）（w＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$的部分图象如图所示，其中N，P的坐标分别为$（\frac{5}{8}π，-A），（\frac{11}{8}π，-0）$，则函数f（x）的单调递减区间不可能为（　　）

• A． $[\frac{π}{8}，\frac{5π}{8}]$
• B． $[-\frac{7π}{8}，-\frac{3π}{8}]$
• C． $[\frac{9π}{4}，\frac{21π}{8}]$
• D． $[\frac{9π}{8}，\frac{33π}{8}]$

Answer 1

分析 解法一：根据题意，求出函数f（x）的解析式，得出f（x）的递减区间，再判定4个选项中是否为f（x）的单调减区间．
解法二：求出函数f（x）的周期T=π，判定选项D区间长度是3T，f（x）不是单调减函数，由此得出结论．

解答 解：（法一）根据题意，设函数f（x）=Acos（ωx+φ）的周期为T，
则$\frac{3}{4}$T=$\frac{11π}{8}$-$\frac{5π}{8}$=$\frac{3π}{4}$，解得T=π，
∴ω=2；
又x=$\frac{5π}{8}$，
∴2×$\frac{5π}{8}$+φ=π+kπ，k∈Z；
解得φ=-$\frac{π}{4}$+kπ，k∈Z；，
又|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=-$\frac{π}{4}$，
∴f（x）=Acos（2x-$\frac{π}{4}$）；
令2kπ≤2x-$\frac{π}{4}$≤π+2kπ，k∈Z，
∴$\frac{π}{8}$+kπ≤x≤$\frac{5π}{8}$+kπ，k∈Z，
当k=0时，x∈[$\frac{π}{8}$，$\frac{5π}{8}$]，f（x）是单调减函数，A满足题意；
当k=-1时，x∈[-$\frac{7π}{8}$，-$\frac{3π}{8}$]，f（x）是单调减函数，B满足题意；
当k=2时，x∈[$\frac{17π}{8}$，$\frac{25π}{8}$]，f（x）是单调减函数，又[$\frac{9π}{4}$，$\frac{21π}{8}$]?[$\frac{17π}{8}$，$\frac{25π}{8}$]，∴C满足题意；
当k=1时，x∈[$\frac{9π}{8}$，$\frac{17π}{8}$]，f（x）是单调减函数，又[$\frac{9π}{8}$，$\frac{17π}{8}$]?[$\frac{9π}{8}$，$\frac{33π}{8}$]，∴D不满足题意．
（法二）根据题意，设函数f（x）=Acos（ωx+φ）的周期为T，
则$\frac{3}{4}$T=$\frac{11π}{8}$-$\frac{5π}{8}$=$\frac{3π}{4}$，解得T=π；
又选项D中，区间长度为$\frac{33π}{8}$-$\frac{9π}{8}$=3π，
∴f（x）在区间[$\frac{9π}{8}$，$\frac{33π}{8}$]上不是单调减函数．
故选：D．

点评 本题考查了余弦函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质的应用问题，是基础题目．