Question

20．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且$a=3，b=2\sqrt{6}，B=2A$，则c的值为（　　）

• A． 3
• B． 4
• C． 5
• D． 3或5

Answer 1

分析 由sinB=sin2A=2sinAcosA，由正弦定理$\frac{a}{snA}=\frac{b}{sinB}$，可知b=2acosA，再由余弦定理可得到关于c的一元二次方程，解得c的值．

解答 解：在△ABC中，由已知条件可知：sinB=sin2A=2sinAcosA；
由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，b=$\frac{asinB}{sinA}$，
∴b=2acosA
cosA=$\frac{\sqrt{6}}{3}$
余弦定理$cosA=\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$
整理可知：c²-8c+15=0
解得c₁=3或c₂=5
当c=3时，a=c=3时，
则A=C，又B=2A，A+B+C=180°，
得A=C=45°，B=90°，
则三角形ABC为等腰直角三角形，b=3$\sqrt{2}$与b=2$\sqrt{6}$矛盾，
故c=5，
故选C．

点评 本题主要考察正弦定理和余弦定理，最后要验证是否满足三角形．属于中档题