Question

10．如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=AB=BC=2，∠CBA=∠PBC=60°，Q为线段BC的中点．
（1）求证：PA⊥BC；
（2）求点Q到平面PAC的距离．

Answer 1

分析 （1）由题意得到三角形ABC为等边三角形，由Q为BC中点，得到AQ垂直于BC，同理得到三角形BPC为等边三角形，得到PQ垂直于BC，由AQ与QC交于Q，得到BC与平面APQ垂直，而AP属于平面PAQ，即可得到PA与BC垂直；
（2）设点Q到平面PAC的距离为h，根据V_Q-ACP=V_C-APQ，利用体积法求出h，即为点Q到平面PAC的距离．

解答 （1）证明：∵在△ABC中，BC=AB，∠CBA=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∵Q为BC的中点，
∴AQ⊥BC，
同理在等边△BPC中，PQ⊥BC，
∵QA∩QC=Q，
∴BC⊥平面PAQ，
∵AP?平面PAQ，
∴BC⊥PA；
（2）设点Q到平面PAC的距离为h，由（1）得QA=QP=$\sqrt{3}$，
∵AP=2，
∴S_△QPA=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$，
∵BC⊥平面PAQ，且CQ=1，
∴V_C-PAQ=$\frac{1}{3}$×$\sqrt{2}$×1=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∵AC=AP=PC=2，
∴S△PAC=$\frac{1}{2}$×2×2×sin60°=$\sqrt{3}$，
∴V_Q-PAC=$\frac{1}{3}$×$\sqrt{3}$×h，
∵V_C-PAQ=V_Q-PAC，
∴$\frac{\sqrt{2}}{3}$=$\frac{1}{3}$×$\sqrt{3}$×h，
解得：h=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
则点Q到平面PAC的距离为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 此题考查了点、线、面之间的距离，等边三角形的判定与性质，以及直线与平面垂直的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．