Question

20．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sin2α-$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，2cosα），$\overrightarrow{b}$=（1，1-sinα），α∈（0，π），且$\overrightarrow{a}$$⊥\overrightarrow{b}$，则tan（$α-\frac{π}{4}$）=（　　）

• A． 9-4$\sqrt{5}$
• B． 4$\sqrt{5}$-9
• C． 5$\sqrt{2}$-9
• D． 9+4$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由条件利用两个向量垂直的性质求得cosα 的值，可得sinα、tanα的值，再利用两角差的正切公式求得tan（$α-\frac{π}{4}$）的值．

解答 解：由$\overrightarrow{a}$$⊥\overrightarrow{b}$，α∈（0，π），可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=sin2α-$\frac{2\sqrt{5}}{3}$+2cosα（1-sinα）=2cosα-$\frac{2\sqrt{5}}{3}$=0，
∴cosα=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，∴sinα=$\frac{2}{3}$，∴tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
∴tan（$α-\frac{π}{4}$）=$\frac{tanα-1}{1+tanα}$=4$\sqrt{5}$-9，
故选：B．

点评 本题主要考查两个向量垂直的性质，两角差的正切公式的应用，属于基础题．