Question

8．已知f（x）满足下列条件，分别求f（x）的解析式．
（1）已知f（$\sqrt{x}$-1）=x-2$\sqrt{x}$，求f（x）；
（2）已知f（x）为二次函数，f（0）=0，f（x+1）=f（x）+x+1，求f（x）；
（3）已知f（x）满足f（x）+2f（-x）=$\frac{1}{1+x}$，求f（x）；
（4）已知f（x）为偶函数，且对于任意实数x，y，都有f（x+y）=f（x）+f（y）+xy，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析 ①利用换元法求解即可；
②根据定义，用代入法求解；
③根据抽象函数，把x换为-x，解方程组即可；
④根据偶函数的性质得出f（0）=0，再令y=-x，得出函数解析式．

解答 解：（1）已知f（$\sqrt{x}$-1）=x-2$\sqrt{x}$，
令t=$\sqrt{x}$-1，t≥-1，
∴x=（t+1）²，f（t）=（t+1）²-2（t+1）=t²-1，
∴f（x）=x²-1，（x≥-1）；
（2）设f（x）=ax²+bx+c，
∵f（0）=0，
∴c=0；
∵f（x+1）=f（x）+x+1，
∴ax²+（2a+b）x+a+b=ax²+（b+1）x+1，
∴a=b=$\frac{1}{2}$，f（x）=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x；
（3）f（x）满足f（x）+2f（-x）=$\frac{1}{1+x}$，
∴f（-x）+2f（x）=$\frac{1}{1-x}$，
∴f（x）=$\frac{3x+1}{3（1{-x}^{2}）}$；
（4）已知f（x）为偶函数，且对于任意实数x，y，都有f（x+y）=f（x）+f（y）+xy，
令x=y=0，
∴f（0）=0，令y=-x，
∴f（0）=f（x）+f（-x）-x²，
∴f（x）=x²．

点评 考查了换元法，代入法，解方程组的方法求解函数解析式．