Question

18．某商场举行购物抽奖活动，抽奖箱中放有除编号不同外，其余均相同的20个小球，这20个小球编号的茎叶图如图所示，活动规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽取的小球编号是十位数字为l的奇数，则为一等奖，奖金100元；若抽取的小球编号是十位数字为2的奇数，则为二等奖，奖金50元；若抽取的小球是其余编号则不中奖．现某顾客有放回的抽奖两次，两次抽奖相互独立．
（I）求该顾客在两次抽奖中恰有一次中奖的概率；
（Ⅱ）记该顾客两次抽奖后的奖金之和为随机变量X，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设一次抽奖抽中i等奖的概率为P_i（i=1，2），没有中奖的概率为P₀，由此能求出该顾客两次抽奖中恰有一次中奖的概率．
（Ⅱ）X的可能取值为0，50，100，150，200，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（Ⅰ）设一次抽奖抽中i等奖的概率为P_i（i=1，2），没有中奖的概率为P₀，
则P₁+P₂=$\frac{3}{20}+\frac{5}{20}$=$\frac{2}{5}$，即中奖的概率为$\frac{2}{5}$，
∴该顾客两次抽奖中恰有一次中奖的概率为：
P=${C}_{2}^{1}×\frac{2}{5}×\frac{3}{5}$=$\frac{12}{25}$．
（Ⅱ）X的可能取值为0，50，100，150，200，
P（X=0）=$\frac{9}{25}$，
P（X=50）=${C}_{2}^{1}×\frac{5}{20}×\frac{3}{5}$=$\frac{3}{10}$，
P（X=100）=$\frac{5}{20}×\frac{5}{20}+{C}_{2}^{1}×\frac{3}{20}×\frac{3}{5}$=$\frac{97}{400}$，
P（X=150）=${C}_{2}^{1}×\frac{3}{20}×\frac{5}{20}$=$\frac{3}{40}$，
P（X=200）=$\frac{3}{20}×\frac{3}{20}$=$\frac{9}{400}$，
∴X的分布列为：

X	0	50	100	150	200
P	$\frac{9}{25}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{97}{400}$	$\frac{3}{40}$	$\frac{9}{400}$

∴EX=$50×\frac{3}{10}+100×\frac{97}{400}+150×\frac{3}{40}+200×$$\frac{9}{400}$=55（元）．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．