Question

7．已知等差数列{a_n}的通项公式${a_n}=3n-1（n∈{N^*}）$．设数列{b_n}为等比数列，且${b_n}={a_{k_n}}$．
（Ⅰ）若b₁=a₁=2，且等比数列{b_n}的公比最小，
（ⅰ）写出数列{b_n}的前4项；
（ⅱ）求数列{k_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明：以b₁=a₂=5为首项的无穷等比数列{b_n}有无数多个．

Answer 1

分析 （Ⅰ）（ⅰ）写出数列{a_n}的前若干项，观察可得等比数列{b_n}的公比最小为4，即可得到所求；
（ⅱ）由（ⅰ）可知{b_n}的通项公式，由等差数列的通项公式可得${k_n}=\frac{1}{3}（2•{4^{n-1}}+1），n∈{N^*}$．
证明k_n为正整数即可；
（Ⅱ）设数列{c_n}是数列{a_n}中包含的一个无穷等比数列，求出c₁，c₂，求得公比q，只要证${c_n}=5•{（3m+1）^{n-1}}$是数列{a_n}的项，运用归纳法，即可得证．

解答 解：（Ⅰ）观察数列{a_n}的前若干项：2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，…．
因为数列{a_n}是递增的整数数列，且等比数列以2为首项，显然最小公比不能是$\frac{5}{2}$，最小公比是4．
（ⅰ）以2为首项，且公比最小的等比数列的前四项是2，8，32，128．
（ⅱ）由（ⅰ）可知b₁=2，公比q=4，所以${b_n}=2•{4^{n-1}}$．
又${b_n}={a_{k_n}}=3k_n^{\;}-1$，所以$3{k_n}-1=2•{4^{n-1}}，n∈{N^*}$，
即${k_n}=\frac{1}{3}（2•{4^{n-1}}+1），n∈{N^*}$．
再证k_n为正整数．
显然k₁=1为正整数，n≥2时，
${k_n}-{k_{n-1}}=\frac{1}{3}（2•{4^{n-1}}-2•{4^{n-2}}）=\frac{1}{3}•2•{4^{n-2}}（4-1）=2•{4^{n-2}}$，
即${k_n}={k_{n-1}}+2•{4^{n-2}}（n≥2）$，
故${k_n}=\frac{1}{3}（2•{4^{n-1}}+1），n∈{N^*}$为正整数．
所以，所求通项公式为${k_n}=\frac{1}{3}（2•{4^{n-1}}+1），n∈{N^*}$；
（Ⅱ）证明：设数列{c_n}是数列{a_n}中包含的一个无穷等比数列，
且${c_1}={a_{k_1}}=5$，${c_2}={a_{k_2}}=3{k_2}-1$，
所以公比$q=\frac{{3{k_2}-1}}{5}$．因为等比数列{c_n}各项为整数，所以q为整数．
取k₂=5m+2（m∈N^*），则q=3m+1，故${c_n}=5•{（3m+1）^{n-1}}$．
只要证${c_n}=5•{（3m+1）^{n-1}}$是数列{a_n}的项，即证3k_n-1=5•（3m+1）^n-1．
只要证${k_n}=\frac{1}{3}[5{（3m+1）^{n-1}}+1]$（n∈N^*）为正整数，显然k₁=2为正整数．
又n≥2时，${k_n}-{k_{n-1}}=\frac{5}{3}[{（3m+1）^{n-1}}-{（3m+1）^{n-2}}]=5m{（3m+1）^{n-2}}$，
即${k_n}={k_{n-1}}+5m{（3m+1）^{n-2}}$，
又因为k₁=2，5m（3m+1）^n-2都是正整数，
故n≥2时，k_n也都是正整数．
所以数列{c_n}是数列{a_n}中包含的无穷等比数列，
其公比q=3m+1有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，
故数列{a_n}所包含的以a₂=5为首项的不同无穷等比数列有无数多个．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项公式，以及等比数列的判断，考查运算和推理能力，属于难题．