Question

12．已知函数f（x）=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{{e}^{x}+{e}^{-x}}$，则不等式f（log₂x）-f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$x）≥$\frac{2（{e}^{2}-1）}{{e}^{2}+1}$的解集为（　　）

• A． [$\frac{1}{2}$，+∞）
• B． [2，+∞）
• C． （0，2]
• D． [$\frac{1}{2}$，2]

Answer 1

分析 先判断函数f（x）的奇偶性和单调性质，再原不等式转化为log₂x≥1，解得即可．

解答 解：f（-x）=-$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{{e}^{x}+{e}^{-x}}$=-f（x），
∴f（log₂x）-f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$x）=f（log₂x）-f（-log₂x）=2f（log₂x），
∵f（log₂x）-f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$x）≥$\frac{2（{e}^{2}-1）}{{e}^{2}+1}$，
∴f（log₂x）≥$\frac{{e}^{2}-1}{{e}^{2}+1}$=$\frac{e-{e}^{-1}}{e+{e}^{-1}}$=f（1），
∵f（x）=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{{e}^{x}+{e}^{-x}}$=1-$\frac{2{e}^{-x}}{{e}^{x}+{e}^{-x}}$=1-$\frac{2}{{e}^{2x}+1}$为增函数，
∴log₂x≥1=log₂2，
∴x≥2
故选：B．

点评 本题考查了奇偶性和单调性，以及对数函数的性质和不等式的解法，属于中档题．