Question

2．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若$a=1，b=\sqrt{3}，A+C=2B$，则△ABC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 利用三角形的内角和解出B，使用余弦定理解出c，代入三角形的面积公式计算．

解答 解：∵A+C=2B，A+B+C=π，
∴B=$\frac{π}{3}$，
由余弦定理得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{1+{c}^{2}-3}{2c}$=$\frac{1}{2}$，
解得c=2或c=-1（舍）．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}ac$sinB=$\frac{1}{2}×1×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，三角形的面积公式，属于中档题．