Question

7．已知二项式（1+xcosθ）⁵的展开式中第三项的系数与（x+5sinθ）³的展开式中第二项的系数相等，其中θ为锐角，则cosθ=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

Answer 1

分析 二项式（1+xcosθ）⁵的展开式中第三项为T₃=${∁}_{5}^{2}（xcosθ）^{2}$，可得系数为cos²θ${∁}_{5}^{2}$．（x+5sinθ）³的展开式中第二项为：${∁}_{3}^{1}{x}^{2}（5sinθ）^{1}$=5sinθ${∁}_{3}^{1}$x²，其系数为：15sinθ．利用系数相等即可得出．

解答 解：二项式（1+xcosθ）⁵的展开式中第三项为T₃=${∁}_{5}^{2}（xcosθ）^{2}$=cos²θ${∁}_{5}^{2}$x²，其系数为cos²θ${∁}_{5}^{2}$，即10cos²θ．
（x+5sinθ）³的展开式中第二项为：${∁}_{3}^{1}{x}^{2}（5sinθ）^{1}$=5sinθ${∁}_{3}^{1}$x²，其系数为：15sinθ．
∴10cos²θ=15sinθ，化为2sin²θ+3sinθ-2=0，其中θ为锐角，
解得sinθ=$\frac{1}{2}$
则cosθ=$\sqrt{1-si{n}^{2}θ}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了二项式定理的应用、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．