Question

19．设函数f（x）=x²-3x．
（Ⅰ）若λ+μ=1（λ，μ＞0），求证：f（λx₁+μx₂）≤λf（x₁）+μf（x₂）；
（Ⅱ）若对任意x₁，x₂∈[0，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤L|x₁-x₂|，求L的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用作差法进行证明即可．
（Ⅱ）根据绝对值的几何意义，进行求解即可．

解答 证明：（Ⅰ）∵f（λx₁+μx₂）-[λf（x₁）+μf（x₂）]=（λx₁+μx₂）²-3（λx₁+μx₂）-[λ（x₁²-3x₁）+μ（x₂²-3x₂）]
=λ（λ-1）x₁²+2λμx₁x₂+μ（μ-1）x₂²=-λμx₁²+2λμx₁x₂+λμx₂²=-λμ（x₁-x₂）²≤0，
∴f（λx₁+μx₂）≤λf（x₁）+μf（x₂）；
（Ⅱ）∵|f（x₁）-f（x₂）|=|x₁²-3x₁-x₂²+3x₂|=|x₁-x₂||x₁+x₂-3|，
∵x₁，x₂∈[0，1]，∴x₁+x₂∈[0，2]，
∴-3≤x₁+x₂-3≤-1，∴|x₁+x₂-3|≤3，
∴使|f（x₁）-f（x₂）|≤L|x₁-x₂|恒成立的L的最小值是3．

点评 本题主要考查不等式的证明，利用绝对值的应用，利用作差法是解决本题的关键．