Question

9．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinB+sinA=$\frac{\sqrt{3}（sin2A-sin2B）}{2（sinB-sinA）}$
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形且满足$\frac{m}{tanC}=\frac{1}{tanA}+\frac{1}{tanB}$，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据条件，利用三角函数的和差化积公式进行化简进行求解即可．
（Ⅱ）化简条件，利用积化和差公式结合三角函数的性质进行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）△ABC中，由sinB+sinA=$\frac{\sqrt{3}（sin2A-sin2B）}{2（sinB-sinA）}$，
得2（sinB+sinA）（sinB-sinA）=$\sqrt{3}$（sin2A-sin2B），
即2×2×sin$\frac{A+B}{2}$cos$\frac{B-A}{2}$×2×cos$\frac{A+B}{2}$sin$\frac{B-A}{2}$=$\sqrt{3}$×2×cos$\frac{2A+2B}{2}$sin$\frac{2A-2B}{2}$，
即4sin$\frac{A+B}{2}$cos$\frac{B-A}{2}$cos$\frac{A+B}{2}$sin$\frac{B-A}{2}$=$\sqrt{3}$cos（A+B）sin（A-B）=$\sqrt{3}$cos（A+B）×2×sin$\frac{A-B}{2}$cos$\frac{A-B}{2}$，
即2sin（A+B）=-2$\sqrt{3}$cos（A+B），
即sinC=$\sqrt{3}$cosC，
则tanC=$\sqrt{3}$，
则C=$\frac{π}{3}$．
（2）若C=$\frac{π}{3}$．
则由$\frac{m}{tanC}=\frac{1}{tanA}+\frac{1}{tanB}$得$\frac{m}{\sqrt{3}}$=$\frac{cosA}{sinA}+\frac{cosB}{sinB}$=$\frac{sinBcosA+cosBsinA}{sinAsinB}$=$\frac{sin（A+B）}{sinAsinB}$=$\frac{sinC}{sinAsinB}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{sinAsinB}$，
即m=$\frac{3}{2sinAsinB}$，
∵C=$\frac{π}{3}$．
∴B=π-$\frac{π}{3}$-A=$\frac{2π}{3}$-A，
∵三角形是锐角三角形，
∴0＜$\frac{2π}{3}$-A＜$\frac{π}{2}$，
则$\frac{π}{6}$＜A＜$\frac{2π}{3}$，
即$\frac{π}{6}$＜A＜$\frac{π}{2}$，
则sinAsinB=sinAsin（$\frac{2π}{3}$-A）=-$\frac{cos（A+\frac{2π}{3}-A）-cos（A-\frac{2π}{3}+A）}{2}$=-$\frac{cos\frac{2π}{3}-cos（2A-\frac{2π}{3}）}{2}$=$\frac{1}{2}$cos（2A-$\frac{2π}{3}$）+$\frac{1}{4}$，
∵$\frac{π}{6}$＜A＜$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{3}$＜2A＜π，-$\frac{π}{3}$＜2A-$\frac{2π}{3}$＜$\frac{π}{3}$，
则cos（-$\frac{π}{3}$）＜cos（2A-$\frac{2π}{3}$）≤cos0，
即$\frac{1}{2}$＜cos（2A-$\frac{2π}{3}$）≤1，即$\frac{1}{4}$＜$\frac{1}{2}$cos（2A-$\frac{2π}{3}$）≤$\frac{1}{2}$，
即$\frac{1}{2}$＜$\frac{1}{2}$cos（2A-$\frac{2π}{3}$）+$\frac{1}{4}$≤$\frac{3}{4}$，
即$\frac{1}{2}$＜sinAsinB≤$\frac{3}{4}$，1＜2sinAsinB≤$\frac{3}{2}$，
则$\frac{2}{3}$≤$\frac{1}{2sinAsinB}$＜1，
则2≤$\frac{3}{2sinAsinB}$＜3，
即2≤m＜3，
即实数m的取值范围是[2，3）．

点评 本题主要考查三角函数值的化简和求解，利用三角函数的和差化积以及积化和差公式将条件进行化简是解决本题的关键．考查学生的运算能力．