Question

3．如图，AB是圆O的一条切线，切点为B，直线ABD，CFD，CGE都是圆O的割线，已知AC=AB．
（1）若CG=1，CD=4，求$\frac{DE}{GF}$的值；
（2）求证：FG∥AC．

Answer 1

分析 （1）根据圆内接四边形的性质，证出∠CGF=∠CDE且∠CFG=∠CED，可得△CGF∽△CDE，因此$\frac{DE}{GF}=\frac{CD}{CG}$；
（2）根据切割线定理证出AB²=AD•AE，所以AC²=AD•AE，证$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AE}$，结合∠EAC=∠DAC得到△ADC∽△ACE，所以∠ADC=∠ACE．再根据圆内接四边形的性质得∠ADC=∠EGF，从而∠EGF=∠ACE，可得GF∥AC．

解答 （1）解：由题意可得：G，E，D，F四点共圆，∴∠CGF=∠CDE，∠CFG=∠CED，
∴△CGF～△CDE，
∴$\frac{DE}{GF}=\frac{CD}{CG}$，
又∵CG=1，CD=4，∴$\frac{DE}{FG}=4$
（2）证明：因为AB为切线，AE为割线，AB²=AD•AE，
又因为AC=AB，所以AD•AE=AC²，
所以$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AE}$，
又因为∠EAC=∠DAC，所以△ADC～△ACE，所以∠ADC=∠ACE，
又因为∠ADC=∠EGF，所以∠EGF=∠ACE，所以FG∥AC

点评 本题给出圆的切线与割线，求证直线互相平行，并求线段的比值．着重考查了切割线定理、圆内接四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，属于中档题．