Question

10．如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，BC=PD=2，E为PC的中点，G在BC上，且CG=$\frac{1}{3}$CB
（1）求证：PC⊥BC；
（2）求三棱锥C-DEG的体积；
（3）AD边上是否存在一点M，使得PA∥平面MEG？若存在，求AM的长；否则，说明理由．

Answer 1

分析 （1）证明PD⊥BC．BC⊥CD．推出BC⊥平面PCD．然后证明PC⊥BC．
（2）说明GC是三棱锥G-DEC的高．求出S_△EDC．然后通过V_C-DEG=V_G-DEC，求解几何体的体积．
（3）连结AC，取AC中点O，连结EO、GO，延长GO交AD于点M，则PA∥平面MEG．利用直线与平面平行的判定定理证明．通过△OCG≌△OAM，求解所求AM的长．

解答 解：（1）证明：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC．又∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD．
又∵PD∩CD=D，∴BC⊥平面PCD．又∵PC?平面PCD，∴PC⊥BC．----------------4
（2）∵BC⊥平面PCD，
∴GC是三棱锥G-DEC的高．
∵E是PC的中点，
∴S_△EDC=$\frac{1}{2}$S_△PDC=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}PD•DC$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2}$×2×2）=1．
∴V_C-DEG=V_G-DEC=$\frac{1}{3}$GC•S_△DEC=$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{3}$×1=$\frac{2}{9}$．-----------------------------8
（3）连结AC，取AC中点O，连结EO、GO，延长GO交AD于点M，则PA∥平面MEG．
证明：∵E为PC的中点，O是AC的中点，∴EO∥PA．又∵EO?平面MEG，PA?平面MEG，
∴PA∥平面MEG．
在正方形ABCD中，∵O是AC的中点，BC=PD=2，CG=$\frac{1}{3}$CB．
∴△OCG≌△OAM，∴AM=CG=$\frac{2}{3}$，∴所求AM的长为$\frac{2}{3}$．----------------------------12

点评 本题考查直线与平面平行，几何体的体积的求法，距离公式的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力计算能力．