Question

2．设x，y为实数，若4x²+2xy+3y²=1，则2x-y的最大值和最小值，并说明取得最值时的条件．

Answer 1

分析 令2x-y=u，从而化简可得20x²-14ux+3u²-1=0，从而利用判别式法求解．

解答 解：令2x-y=u，则y=2x-u；
∵4x²+2xy+3y²=1，
∴4x²+2x（2x-u）+3（2x-u）²-1=0，
∴20x²-14ux+3u²-1=0，
△=（-14u）²-4×20×（3u²-1）≥0，
∴|u|≤$\sqrt{\frac{20}{11}}$=$\frac{2}{11}$$\sqrt{55}$，
故当x=$\frac{7}{11}$，y=$\frac{14-2\sqrt{55}}{11}$时，
2x-y有最大值$\frac{2}{11}$$\sqrt{55}$；
当x=$\frac{7}{11}$，y=$\frac{14+2\sqrt{55}}{11}$时，
2x-y有最小值-$\frac{2}{11}$$\sqrt{55}$．

点评 本题考查了方程的性质应用及判别式法的应用．