Question

13．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3}{2}$x，sin$\frac{3}{2}$x），$\overrightarrow{b}$=（cos$\frac{x}{2}$，-sin$\frac{x}{2}$）且x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，求函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|的最值．

Answer 1

分析 由已知向量的坐标求得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$、|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|的最值，代入f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|，换元后利用配方法求得函数的最值．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3}{2}$x，sin$\frac{3}{2}$x），$\overrightarrow{b}$=（cos$\frac{x}{2}$，-sin$\frac{x}{2}$），
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=cos\frac{3x}{2}cos\frac{x}{2}-sin\frac{3x}{2}sin\frac{x}{2}$=cos2x，
$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=（cos\frac{3x}{2}+cos\frac{x}{2}，sin\frac{3x}{2}-sin\frac{x}{2}）$，
$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{（cos\frac{3x}{2}+cos\frac{x}{2}）^{2}+（sin\frac{3x}{2}-sin\frac{x}{2}）^{2}}$=$\sqrt{2+2cos2x}=2|cosx|$，
∴f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=cos2x+2|cosx|，
又x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，
∴f（x）=2cos²x+2cosx-1，
令t=cosx（0≤t≤1），
则函数化为y=$2{t}^{2}+2t-1=2（t+\frac{1}{2}）^{2}-\frac{3}{2}$，
∴当t=0时，y_min=-1，当t=1时，y_max=3．
∴函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|的最小值为-1，最大值为3．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查三角函数中的恒等变换应用，训练了利用换元法和配方法求函数的最值，是中档题．