Question

13．已知函数f（x）=（x-2）²，f'（x）是函数f（x）的导函数，设a₁=3，a_n+1=a_n-$\frac{{f（{a_n}）}}{{f'（{a_n}）}}$．
（I）证明：数列{a_n-2}是等比数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（II）令b_n=n（a_n-2），求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （I）f′（x）=2（x-2），由a_n+1=a_n-$\frac{{f（{a_n}）}}{{f'（{a_n}）}}$，可得a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n+1，变形a_n+1-2=$\frac{1}{2}$（a_n-2），利用等比数列的通项公式即可得出．
（Ⅱ）由题意b_n=n（a_n-2）=n•$（\frac{1}{2}）^{n-1}$，再利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 （I）证明：f′（x）=2（x-2），由a_n+1=a_n-$\frac{{f（{a_n}）}}{{f'（{a_n}）}}$，
可化为a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n+1，变形为a_n+1-2=$\frac{1}{2}$（a_n-2），
∴{a_n-2}是以a₁-2=1为首项，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，
∴a_n-2=（a₁-2）•$（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
∴a_n=2+$（\frac{1}{2}）^{n-1}$；
（II）解：由题意b_n=n（a_n-2）=n•$（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
则S_n=1+$\frac{2}{2}$+$\frac{3}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，
$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n-1}}$+$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2}$S_n=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$=2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$，
∴S_n=4-$\frac{2+n}{{2}^{n-1}}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．