Question

14．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知bsin²$\frac{A}{2}$+asin²$\frac{B}{2}$=$\frac{C}{2}$．
（1）若c=2，求△ABC的周长；
（2）若C=$\frac{π}{3}$，△ABC的面积为2$\sqrt{3}$，求c．

Answer 1

分析 （1）由三角函数恒等变换的应用，正弦定理化简已知等式得a+b=2c，根据c=2，即可得解△ABC的周长．
（2）由已知利用三角形面积公式可求ab=8，由余弦定理可得c²=（a+b）²-3ab，由（1）可知a+b=2c，进而可求c的值．

解答 （本题满分为13分）
解：（1）∵bsin²$\frac{A}{2}$+asin²$\frac{B}{2}$=$\frac{c}{2}$，…1分
∴由正弦定理可得sinA•（$\frac{1-cosB}{2}$）+sinB•（$\frac{1-cosA}{2}$）=$\frac{1}{2}$sinC，…2分
∴sinA-sinAcosB+sinB-sinBcosA=sinC，
∴sinA+sinB-sin（A+B）=sinC，可得：sinA+sinB=2sinC，…4分
∴a+b=2c，
∵c=2，
∴△ABC的周长a+b+c=3c=6．…6分
（2）∵C=$\frac{π}{3}$，△ABC的面积为2$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}absin\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}ab•\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴ab=8…8分
∴由余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC，
∵cosC=cos$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}$，
∴c²=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab，…11分
由（1）可知a+b=2c，
∴c²=4c²-24，即c²=8，…12分
∴c=2$\sqrt{2}$．…13分

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．