Question

5．已知函数f（x）=（x²-2ax+a）e^x，其中a∈R
（1）当a=1时，求函数y=f（x）的极值；
（2）是否存在a使得f（x）在区间（-1，1）上是增函数？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求导，根据导数和函数的单调性以及极值的关系即可求出；
（2）f（x）在区间（-1，1）上是增函数，转化为x²+2（1-a）x-a＞0在区间（-1，1）上恒成立，构造函数g（x）=x²+2（1-a）x-a，根据二次函数的性质即可求出a的范围．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=（x²-2x+1）e^x，
∴f′（x）=（2x-2）e^x+（x²-2x+1）e^x=（x²-1）e^x，
令f′（x）=0，解得x=±1，
当f′（x）＞0，即x＞1或x＜-1时，函数f（x）单调递增，
当f′（x）＜0，即-1＜x＜1时，函数f（x）单调递减，
当x=-1时，函数有极大值，即f（-1）=$\frac{4}{e}$，
当x=1时，函数有极小值，即f（1）=0；
（2）∵f′（x）=（2x-2a）e^x+（x²-2ax+a）e^x=[x²+2（1-a）x-a]e^x，
∵f（x）在区间（-1，1）上是增函数，
∴f′（x）＞0在区间（-1，1）上恒成立，
∴x²+2（1-a）x+a＞0在区间（-1，1）上恒成立，
设g（x）=x²+2（1-a）x-a，
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（1）≥0}\\{a-1≥1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{g（-1）≥0}\\{a-1≤-1}\end{array}\right.$，或△=4（1-a）²+4a＜0，
解得$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$＜a＜$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
故a的取值范围为（$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）

点评 本题考查导数和函数的单调性和极值的关系吗，以及函数恒成立的问题，属于中档题．