Question

20．已知F₁为双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{14}$-$\frac{{y}^{2}}{11}$=1的左焦点，直线l过原点且与双曲线C相交于P、Q两点，若$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，则△PF₁Q的周长为22．

Answer 1

分析 确定以PQ为直径的圆经过F₁，可得|PQ|=2c=10，设F₂为双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{14}$-$\frac{{y}^{2}}{11}$=1的右焦点，则根据双曲线的对称性，可得|PF₁|=|QF₂|，利用双曲线的定义，结合勾股定理，即可得出结论．

解答 解：由题意，直线l过原点且与双曲线C相交于P，Q两点，$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，
∴PF₁⊥PF₂，
∴|OP|=c，
∴|PQ|=2c=10，
设F₂为双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{14}$-$\frac{{y}^{2}}{11}$=1的右焦点，则根据双曲线的对称性，可得|PF₁|=|QF₂|，
∴|QF₁|-|PF₁|=2$\sqrt{14}$，
∵|QF₁|²+|PF₁|²=100，
∴2|QF₁||PF₁|=44，
∴（|QF₁|+|PF₁|）²=144，
∴|QF₁|+|PF₁|=12，
∴△PF₁Q的周长等于22，
故答案为：22．

点评 本题考查双曲线的性质，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确运用双曲线的定义是关键．