Question

14．已知n∈N^*，求证：2（$\sqrt{n+1}$-1）＜1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n}}$＜2$\sqrt{n}$-1．

Answer 1

分析 通过放缩、利用数学归纳法即可证明2（$\sqrt{n+1}$-1）＜1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n}}$，通过基本不等式、利用数学归纳法即可证明1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n}}$＜2$\sqrt{n}$-1，进而可得结论．

解答 证明：分2（$\sqrt{n+1}$-1）＜1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n}}$与1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n}}$＜2$\sqrt{n}$-1两部分用数学归纳法来证明．
（1）先证明2（$\sqrt{n+1}$-1）＜1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n}}$：
①当n=1时，显然成立；
②假设当n=k（k＞1）时，有2（$\sqrt{k+1}$-1）＜1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{k}}$，
则1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{k}}$+$\frac{1}{\sqrt{k+1}}$＞2（$\sqrt{k+1}$-1）+$\frac{1}{\sqrt{k+1}}$
=$\frac{2\sqrt{k+1}•\sqrt{k+1}}{\sqrt{k+1}}$-2
=$\frac{2k+3}{\sqrt{k+1}}$-2，
∵0＜k+2，
∴4k³+16n²+16k+4k²+16k+16＜4k³+12k²+9k+8k²+24k+18，
∴（2k+4）²（k+1）＜（2k+3）²（k+2），
∴$\frac{（2k+4）^{2}}{k+2}$＜$\frac{（2k+3）^{2}}{k+1}$，即$\frac{2（k+2）}{\sqrt{k+2}}$＜$\frac{2k+3}{\sqrt{k+1}}$，
∴1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{k}}$+$\frac{1}{\sqrt{k+1}}$＞$\frac{2（k+2）}{\sqrt{k+2}}$-2
=2（$\sqrt{k+2}$-1），
即当n=k+1时命题成立，
由①、②可知2（$\sqrt{n+1}$-1）＜1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n}}$；
（2）再证1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n}}$＜2$\sqrt{n}$-1：
①当n=1时，显然成立；
②假设当n=k（k＞1）时，有1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{k}}$＜2$\sqrt{k}$-1，
则1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{k}}$+$\frac{1}{\sqrt{k+1}}$＜2$\sqrt{k}$-1+$\frac{1}{\sqrt{k+1}}$
=$\frac{2\sqrt{k（k+1）}+1}{\sqrt{k+1}}$-1
＜$\frac{k+（k+1）+1}{\sqrt{k+1}}$-1
=2$\sqrt{k+1}$-1，
即当n=k+1时命题成立，
由①、②可知1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n}}$＜2$\sqrt{n}$-1；
综上所述，2（$\sqrt{n+1}$-1）＜1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n}}$＜2$\sqrt{n}$-1．

点评 本题考查不等式的证明，利用数学归纳法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．