【题目】设,函数
.
(1) 若,求曲线
在
处的切线方程;
(2)求函数单调区间
(3) 若有两个零点
,求证:
.
【答案】(1);(2)见解析;(3)见解析
【解析】
分析:(1)求出,由
的值可得切点坐标,求出
的值,可得切线斜率,利用点斜式可得曲线
在点
处的切线方程;(2)求出
,分两种情况讨论
的范围,在定义域内,分别令
,可得函数
增区间,
,可得函数
的减区间;(3)原不等式
等价于
令
,则
,于是
,
,利用导数可证明
,从而可得结果.
详解:在区间上,
.
(1)当时,
则切线方程为
,即
(2)若,则
,
是区间
上的增函数,
若,令
得:
.
在区间上,
,函数
是增函数;
在区间上,
,函数
是减函数;
(3)设
,
原不等式
令
,则
,于是
.(9分)
设函数
,
求导得:
故函数是
上的增函数,
即不等式成立,故所证不等式
成立.
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【题目】给出下列四个结论:
①已知X服从正态分布N(0,σ2),且P(﹣2≤X≤2)=0.6,则P(X>2)=0.2;
②若命题 ,则¬p:x∈(﹣∞,1),x2﹣x﹣1≥0;
③已知直线l1:ax+3y﹣1=0,l2:x+by+1=0,则l1⊥l2的充要条件是 .
其中正确的结论的个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
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【题目】已知斜率为k(k≠0)的直线 交椭圆
于
两点。
(1)记直线 的斜率分别为
,当
时,证明:直线
过定点;
(2)若直线 过点
,设
与
的面积比为
,当
时,求
的取值范围。
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【题目】精准扶贫是巩固温饱成果、加快脱贫致富、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障.某地政府在对某乡镇企业实施精准扶贫的工作中,准备投入资金将当地农产品进行二次加工后进行推广促销,预计该批产品销售量万件(生产量与销售量相等)与推广促销费
万元之间的函数关系为
(其中推广促销费不能超过5千元).已知加工此农产品还要投入成本
万元(不包括推广促销费用),若加工后的每件成品的销售价格定为
元/件.
(1)试将该批产品的利润万元表示为推广促销费
万元的函数;(利润=销售额-成本-推广促销费)
(2)当推广促销费投入多少万元时,此批产品的利润最大?最大利润为多少?
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【题目】如图,在四棱锥中,底面
是边长为2的正方形,侧面
是等腰直角三角形,且
,侧面
⊥底面
.
(1)若分别为棱
的中点,求证:
∥平面
;
(2)棱上是否存在一点
,使二面角
成
角,若存在,求出
的长;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知a≥3,函数F(x)=min{2|x﹣1|,x2﹣2ax+4a﹣2},其中min(p,q)=
(1)求使得等式F(x)=x2﹣2ax+4a﹣2成立的x的取值范围
(2)(i)求F(x)的最小值m(a)
(ii)求F(x)在[0,6]上的最大值M(a)
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【题目】在直角坐标系中,以
为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
,曲线
的参数方程为
(
为参数).
(1)求曲线的直角坐标方程;曲线
的极坐标方程。
(2)当曲线与曲线
有两个公共点时,求实数
的取值范围.
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【题目】已知向量,
,且函数
.若函数
的图象上两个相邻的对称轴距离为
.
(Ⅰ)求函数的解析式;
(Ⅱ)若方程在
时,有两个不同实数根
,
,求实数
的取值范围,并求出
的值;
(Ⅲ)若函数在
的最大值为2,求实数
的值.
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