【题目】如图,在四棱锥中,底面
是边长为2的正方形,侧面
是等腰直角三角形,且
,侧面
⊥底面
.
(1)若分别为棱
的中点,求证:
∥平面
;
(2)棱上是否存在一点
,使二面角
成
角,若存在,求出
的长;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)见解析( 2)
【解析】
分析:(1)取中点
,连结
,由三角形中位线定理可得
,可证明四边形
为平行四边形,可得
,由线面平行的判定定理可得结论;(2)取
中点
,连结
、
,先证明
、
、
两两垂直. 以
为原点,分别以
、
、
正方向为
轴、
轴、
轴正方向建立空间直角坐标系,设
,利用向量垂直数量积为零列方程组,求出平面
的法向量,平面
的法向量为
,由空间向量夹角余弦公式列方程可得结果.
详解:(1)取中点
,连结
,∵
分别为
、
中点,∴
//
,
, 又点
为
中点,∴
且
,∴四边形
为平行四边形,∴
∥
,
又
平面
,
平面
,∴
∥平面
.
(2)取中点
,连结
、
,∵
是以
为直角的等腰直角三角形,又
为
的中点,∴
,又平面
⊥平面
,由面面垂直的性质定理得
⊥平面
,又
平面
,∴
⊥
,由已知易得:
、
、
两两垂直. 以
为原点,分别以
、
、
正方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系如图示,
则,设
,
则:,
.
设平面ABF的法向量为,则
,
∴,令
,则
,∴
.
又平面的法向量为
,由二面角
成
角得:
,
∴,解得:
,或
不合题意,舍去
.∴,当棱
上的点
满足
时, 二面角
成
角.
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【题目】在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为 (t为参数)若以O点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C的极坐标方程为ρ=4cos θ.
(1)求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程;
(2)将曲线C上各点的横坐标缩短为原来的 ,再将所得曲线向左平移1个单位,得到曲线C1 , 求曲线C1上的点到直线l的距离的最小值.
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【题目】下列命题正确个数为( )
(1)若,当
时,则
在
上是单调递增函数;
(2)单调减区间为
;
(3)
-3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | |
4 | 3 | 2 | 1 | -2 | -3 | -4 |
上述表格中的函数是奇函数;
(4)若是
上的偶函数,则
都在
图像上.
A.0B.1个C.2个D.3个
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【题目】已知函数,
.
(1)当 时,求函数
图象在点
处的切线方程;
(2)当时,讨论函数
的单调性;
(3)是否存在实数,对任意
,
且
有
恒成立?若存在,求出
的取值范围;若不存在,说明理由.
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【题目】某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生,将其数学成绩(均为整数)分成六段[90,100),[100,110),…,[140,150)后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题:
求分数在[120,130)内的频率,并补全这个频
率分布直方图;
统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点
值作为代表,据此估计本次考试的平均分;
(3)用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本,将该样本看成一个总体,从中任取2个,求至多有1人在分数段[120,130)内的概率.
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【题目】一个不透明的袋子装有4个完全相同的小球,球上分别标有数字为0,1,2,2,现甲从中摸出一个球后便放回,乙再从中摸出一个球,若摸出的球上数字大即获胜(若数字相同则为平局),则在甲获胜的条件下,乙摸1号球的概率为( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】解答
(1)设函数f(x)=|x﹣ |+|x﹣a|,x∈R,若关于x的不等式f(x)≥a在R上恒成立,求实数a的最大值;
(2)已知正数x,y,z满足x+2y+3z=1,求 +
+
的最小值.
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