【题目】解答
(1)设函数f(x)=|x﹣ |+|x﹣a|,x∈R,若关于x的不等式f(x)≥a在R上恒成立,求实数a的最大值;
(2)已知正数x,y,z满足x+2y+3z=1,求 +
+
的最小值.
【答案】
(1)解:由绝对值三角不等式可得 f(x)=|x﹣ |+|x﹣a|≥|(x﹣
)﹣(x﹣a)|=|a﹣
|,
再由不等式f(x)≥a在R上恒成立,可得|a﹣ |≥a,
∴a﹣ ≥a,或a﹣
≤﹣a,解得a≤
,故a的最大值为
(2)解:∵正数x,y,z满足x+2y+3z=1,
∴由柯西不等式可得(x+2y+3z)( +
+
)≥(
+2+
)2=16+8
,
当且仅当x:y:z=3: :1时,等号成立,
∴ +
+
的最小值为16+8
【解析】(1)由绝对值三角不等式可得 f(x)≥|a﹣ |,可得|a﹣
|≥a,由此解得a的范围.(2)运用柯西不等式可得(x+2y+3z)(
+
+
)≥(
+2+
)2=16+8
,即可得出结论.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用绝对值不等式的解法和二维形式的柯西不等式的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握含绝对值不等式的解法:定义法、平方法、同解变形法,其同解定理有;规律:关键是去掉绝对值的符号;二维形式的柯西不等式:当且仅当
时,等号成立.
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【题目】如图,在四棱锥中,底面
是边长为2的正方形,侧面
是等腰直角三角形,且
,侧面
⊥底面
.
(1)若分别为棱
的中点,求证:
∥平面
;
(2)棱上是否存在一点
,使二面角
成
角,若存在,求出
的长;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知二次函数的图象过点
,对任意
满足
,且有最小值为
(1)求的解析式;
(2)求函数在区间[0,1]上的最小值,其中
;
(3)在区间[-1,3]上,的图象恒在函数
的图象上方,试确定实数
的范围.
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【题目】函数在
内只取到一个最大值和一个最小值,且当
时,
;当
时,
.
(1)求函数的解析式.
(2)求函数的单调递增区间.
(3)是否存在实数,满足不等式
?若存在,求出
的范围(或值);若不存在,请说明理由.
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【题目】某公司生产的某批产品的销售量万件(生产量与销售量相等)与促销费用
万元满足
(其中
,
为正常数).已知生产该批产品还需投入成本
万元(不含促销费用),产品的销售价格定为
元/件
(1)将该产品的利润万元表示为促销费用
万元的函数;(注:利润=销售收入-促销费-投入成本)
(2)当促销费用投入多少万元时,该公司的利润最大?
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【题目】已知向量,
,且函数
.若函数
的图象上两个相邻的对称轴距离为
.
(Ⅰ)求函数的解析式;
(Ⅱ)若方程在
时,有两个不同实数根
,
,求实数
的取值范围,并求出
的值;
(Ⅲ)若函数在
的最大值为2,求实数
的值.
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【题目】(12分)已知函数f(x)=
(1)判断函数在区间[1,+∞)上的单调性,并用定义证明你的结论.
(2)求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值.
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【题目】为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人,结果如下:
性别 是否需要志愿者 | 男 | 女 |
需要 | 40 | 30 |
不需要 | 160 | 270 |
(1)估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例;
(2)请根据上面的数据分析该地区的老年人需要志愿者提供帮助与性别有关吗
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【题目】在直角坐标系中,曲线
的参数方程是
(
为参数),以该直角坐标系的原点
为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线
的极坐标方程为
.
(1)写出曲线的普通方程和直线
的直角坐标方程;
(2)设点,直线
与曲线
相交于
两点,且
,求实数
的值.
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