Question

4．已知a，b，c分别为△ABC的三边长，且$|\begin{array}{l}{a}&{b}&{c}\\{c}&{a}&{b}\\{b}&{c}&{a}\end{array}|$=0，求证：△ABC是等边三角形．

Answer 1

分析 将三阶行列式展开，求得a³+b³+c³-3abc=0，将a³+b³+c³-3abc分解因式为（a+b+c）（a²+b²+c²-ab-bc-ca），然后根据a、b、c为正数，可得出a²+b²+c²-ab-bc-ca=0，配方后根据完全平方的非负性即可得出a=b=c，即可证明△ABC是等边三角形．

解答 解：证明：由$|\begin{array}{l}{a}&{b}&{c}\\{c}&{a}&{b}\\{b}&{c}&{a}\end{array}|$=a³+b³+c³-3abc=0
（a+b）³-3ab（a+b）+c³-3abc
=[（a+b）³+c³]-3ab（a+b+c）
=（a+b+c）[（a+b）²-c（a+b）+c²]-3ab（a+b+c）
=（a+b+c）（a²+b²+c²-ab-bc-ca），
∵a，b，c为正数，
∴a+b+c＞0，
a²+b²+c²-ab-ac-bc=0，
2a²+2b²+2c²-2ab-2ac-2bc=0，
∴（a-b）²+（a-c）²+（b-c）²=0，
∵（a-b）²≥0，（a-c）²≥0，（b-c）²≥0，
∴只有（a-b）²=0，（a-c）²=0，（b-c）²=0，
∴a=b=c，
∴△ABC是等边三角形．

点评 本题考查行列式的展开，考查因式分解及三角形性质判断及行列式的性质的综合应用，考查分析问题及解决问题的能力，属于中档题．