Question

16．在直角坐标系xOy中，半圆C的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}}\right.$（φ为参数，0≤φ≤π），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求C的极坐标方程；
（Ⅱ）直线l的极坐标方程是$ρ（sinθ+\sqrt{3}cosθ）=5\sqrt{3}$，射线OM：θ=$\frac{π}{3}$与半圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．

Answer 1

分析 （I）先利用参数方程与普通方程的转化公式将圆C的方程转化为普通方程，再利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ转化为极坐标方程；
（II）利用圆C的极坐标方程求出点P的极坐标，再利用直线l的极坐标方程求出点Q的极坐标，最后利用|PQ|=|ρ₁-ρ₂|计算即可．

解答 解：（Ⅰ）半圆C的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}}\right.$（φ为参数，0≤φ≤π），
化为半圆C的普通方程为（x-1）²+y²=1（0≤y≤1），
利用互化公式可得极坐标方程：ρ²-2ρcosθ=0，
∴半圆C的极坐标方程是$ρ=2cosθ，θ∈[0，\frac{π}{2}]$．
（Ⅱ）设（ρ₁，θ₁）为点P的极坐标，则$\left\{{\begin{array}{l}{{ρ_1}=2cos{θ_1}}\\{{θ_1}=\frac{π}{3}}\end{array}}\right.$，
解得$\left\{{\begin{array}{l}{{ρ_1}=1}\\{{θ_1}=\frac{π}{3}}\end{array}}\right.$，
设（ρ₂，θ₂）为点Q的极坐标，
则$\left\{{\begin{array}{l}{{ρ_2}（sin{θ_2}+\sqrt{3}cos{θ_2}）=5\sqrt{3}}\\{{θ_2}=\frac{π}{3}}\end{array}}\right.$，
解得$\left\{{\begin{array}{l}{{ρ_2}=5}\\{{θ_2}=\frac{π}{3}}\end{array}}\right.$，
由于θ₁=θ₂，
∴|PQ|=|ρ₁-ρ₂|=4，
所以PQ的长为4．

点评 本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的转化、参数方程与普通方程的转化等基础知识，意在考查考生的分析问题解决问题的能力、转化能力、运算求解能力，属于中档题．