Question

8．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₁的极坐标方程为$ρsin（{θ+\frac{π}{4}}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}a$，曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-1+cosφ\\ y=-1+sinφ\end{array}\right.$（φ为参数且0≤φ≤π）．
（1）求曲线C₁的直角坐标方程和曲线C₂的普通方程；
（2）当曲线C₁和曲线C₂有两个公共点时，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）曲线C₁的极坐标方程为$ρsin（{θ+\frac{π}{4}}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}a$，展开可得：$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（sinθ+cosθ）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，利用互化公式可得可得直角坐标方程．由曲线C₂的参数方程，利用平方关系：cos²φ+sin²φ=1可得普通方程，注意y的取值范围．
（2）当曲线C₁和曲线C₂有两个公共点时，数形结合可得：圆心（-1，-1）到直线的距离d=$\frac{|-1-1-a|}{\sqrt{2}}$＜1，且a≥-1，解出即可得出．

解答 解：（1）曲线C₁的极坐标方程为$ρsin（{θ+\frac{π}{4}}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}a$，
展开可得：$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（sinθ+cosθ）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
可得直角坐标方程：x+y-a=0．
曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-1+cosφ\\ y=-1+sinφ\end{array}\right.$（φ为参数且0≤φ≤π），
可得普通方程：（x+1）²+（y+1）²=1，（-1≤y≤0）．
（2）当曲线C₁和曲线C₂有两个公共点时，
圆心（-1，-1）到直线的距离d=$\frac{|-1-1-a|}{\sqrt{2}}$＜1，且a≥-1，
解得-1≤a＜$\sqrt{2}$-2．

点评 本题考查了极坐标与直角坐标方程互化、参数方程化为普通方程、直线与圆相交关系，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．