Question

20．设函数f（x）=ax+$\frac{a-1}{x}$-lnx．
（Ⅰ）若a=3，求f（x）的最小值；
（Ⅱ）若当x≥1时，f（x）≥2a-1，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间和极值且为最值；
（Ⅱ）当x≥1时，f（x）≥2a-1，即为ax+$\frac{a-1}{x}$-lnx≥2a-1，讨论x=1和x＞1，由参数分离和构造函数g（x）=xlnx-（x-1）-（x-1）²（x＞1），求出导数和单调性，即可判断g（x）的单调性，可得a的范围．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=3x+$\frac{2}{x}$-lnx的导数为f′（x）=3-$\frac{2}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$=$\frac{（x-1）（3x+2）}{{x}^{2}}$，
当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减．
可得x=1处f（x）取得最小值，且为f（1）=5；
（Ⅱ）当x≥1时，f（x）≥2a-1，
即为ax+$\frac{a-1}{x}$-lnx≥2a-1，
当x=1时，上式显然成立．
当x＞1时，可得a≥$\frac{xlnx-x+1}{（x-1）^{2}}$．
由$\frac{xlnx-x+1}{（x-1）^{2}}$-1=$\frac{xlnx-（x-1）-（x-1）^{2}}{（x-1）^{2}}$，
设g（x）=xlnx-（x-1）-（x-1）²（x＞1），
g′（x）=1+lnx-1-2（x-1）=lnx-2（x-1），
由g″（x）=$\frac{1}{x}$-2＜0在x＞1恒成立，
可得g′（x）在（1，+∞）递减，可得g′（x）＜g′（1）=0，
即g（x）在（1，+∞）递减，可得g（x）＜g（1）=0，
则$\frac{xlnx-x+1}{（x-1）^{2}}$＜1成立，
即有a≥1．
即a的范围是[1，+∞）．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查不等式成立问题的解法，注意运用参数分离和构造函数法，求得导数判断单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．