Question

6．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，AC=BC=$\frac{1}{2}$AA₁，D是棱AA₁的中点，DC₁⊥BD．
（1）证明：DC₁⊥面BCD；
（2）设AA₁=2，求点B₁到平面BDC₁的距离．

Answer 1

分析 （1）在矩形ACC₁A₁中，利用勾股定理证明C₁D⊥DC，由DC₁⊥BD，DC∩BD=D能证明DC₁⊥平面BDC；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面BDC₁的法向量，即可求点B₁到平面BDC₁的距离．

解答 （1）证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形．
由于D是棱AA₁的中点，故DC=DC₁．
又AC=$\frac{1}{2}$AA₁，可得DC²+DC₁²=CC₁²，所以△C₁DC是直角三角形，
∴C₁D⊥DC．
而DC₁⊥BD，DC∩BD=D，
所以DC₁⊥面BCD． …（5分）
（2）解：由（1）知BC⊥DC₁，且BC⊥CC₁，则BC⊥平面ACC₁A₁，所以CA，CB，CC₁两两垂直．
以C为坐标原点，$\overrightarrow{CA}$的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz．
由题意知B（0，1，0），D（1，0，1），C₁（0，0，2），B₁（0，1，2），P（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，2），
则$\overrightarrow{BD}$=（1，-1，1），$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{P{C}_{1}}$=（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$，0），$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$=（0，-1，0）
设$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）是平面BDC₁的法向量，则$\left\{\begin{array}{l}{x-y+z=0}\\{-x+z=0}\end{array}\right.$
可取$\overrightarrow{m}$=（1，2，1）． …（10分）
设点B₁到平面BDC₁的距离为d，则d=|$\frac{-2}{1×\sqrt{6}}$|=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．…（12分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查点到平面距离的计算，考查向量知识的运用，属于中档题．