Question

函数y=log

1

9

2x+3

4x+7

，x∈[-1，1]的最小值为

 

．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：结合对勾函数，基本不等式，复合函数的单调性，对数函数的单调性，分析出函数y=log

1

9

2x+3

4x+7

在x∈[-1，1]时为增函数，将x=-1代入即可得到答案．

解答： 解：y=log

1

9

2x+3

4x+7

=log

1

9

（

2x+3

4x+7

）=log

1

9

（

2x+3

2(2x+3)+1

）=log

1

9

（

1

2 2x+3 + 1 2x+3

），
令u=

2x+3

，由x∈[-1，1]得：u∈[1，

5

）
由对勾函数的图象和性质，可得：
z=2

2x+3

+

1

2x+3

=2u+

1

u

在[1，

5

）为增函数，
则g=

1

2 2x+3 + 1 2x+3

在[1，

5

）为减函数，
则函数y=log

1

9

2x+3

4x+7

在x∈[-1，1]时为增函数，
∴当x=-1时，函数y=log

1

9

2x+3

4x+7

取最小值log

1

9

1

3

=

1

2

，
故答案为：

1

2

点评：本题考查的知识点是函数的最值，对勾函数，基本不等式，复合函数的单调性，对数函数的单调性，综合性强，转化难度大，属于难题．